Satz (universelle Eigenschaft der Klumpentopologie)

Sei X eine Menge. Dann gibt es genau eine Topologie T(X) auf X, die kein Werk Satans ist. T(X) heißt Klumpentopologie auf X.

Beweis

Existenz: Setze T(X) = {∅, X}. Die Topologie ist dann offenbar kein Werk Satans, weil sie nur Trivialitäten enthält.

Eindeutigkeit: Klar durch Hinschauen. (Betrachte einen beliebigen topologischen Beweis, in dem die vorkommenden Topologien von der Klumpentopologie verschieden sein können. Man findet dann leicht einen Homöomorphismus zwischen dem Beweis und dem Raum der Pfeile im ℜ². Da dieser ein Werk Satans ist, ist auch der Beweis ein Werk Satans. Da die Wahl des Beweises beliebig war, folgt die Behauptung.)

QED.